Le faavavau taua. Fuafuaina o integrals faavavau

O se tasi o vaega autu o auiliiliga faamatematika o le calculus taua. E aofia ai se matua lautele fanua o mea faitino, pe afai o le muamua - o le faavavau taua. Tulaga e tu e pei o se ki lea o loo tumau pea le aoga maualuga faaali mai se numera faateleina o faamoemoega ma avanoa, lea e faamatala le matematika maualuga.

foliga

I le tepa muamua, e foliga mai e matua taua i ona po nei, o autu, ae o le faiga o le liliu atu o ia toe foi mai i le 1800 TLM. Fale e manatu aloaia Aikupito ao leʻi oo i tatou faamaoniga muamua o lona olaga. E tatau ona totogi i le leai o se faamatalaga, faatulagaina na uma le ao e pei o se aafiaga matautia. Na ia toe faamautuina ai le tulaga o le faasaienisi atinae o tagata o na taimi. Mulimuli ane, na maua ai le galuega o le mathematicians Eleni anamua, tafafao faamasani mai le TLM senituri 4. Latou faamatalaina le auala e faaaoga ai le faavavau taua, o le fatu o lea na maua e le tele po o le nofoaga o le a foliga curvilinear (e faatafa-tolu ma vaalele e lua e faatafa-, faasologa). fuafuaina na faavae i luga o le mataupu faavae o le vaega o le fuainumera muamua i vaega infinitesimal, vagana ai e faapea o le tusi (nofoaga) ua uma ona iloa i latou. Le aluga o taimi, o le ua faatupulaia metotia, faaaogaina Archimedes ai e maua ai le vaega o se parabola. fuafuaga faapena i le taimi lava e faia ai sauniga anamua Saina, lea na latou sa atoatoa tutoatasi mai le faasaienisi Greek uso.

tuputupu aʻe

O le mea taua na sosoo ai i le senituri XI ua avea TLM le galuega a le tagata atamai Arapi "taavale" Abu Ali al-Basri, o le na tuleia o tuaoi o le uma ona iloa, sa maua mai i le fuafaatatau taua mo le fuafuaina o le aofaiga o le aofaiga ma tikeri mai le muamua i le lona fa, o lo o faaaogāina mo lenei iloa ia i tatou auala induction.
Mafaufau o aso nei o loo faamemelo e ala i le foafoaina Aikupito anamua le maa faamanatu maoae e aunoa ma se meafaigaluega faapitoa, ae vagana ai mo o latou lava lima, ae e le o se mana saienitisi valea o le taimi e le itiiti ifo se vavega? Faatusatusa i le taimi nei o latou olaga e foliga mai e toetoe lava o anamua, ae o le faaiuga a faavavau integrals deduced i soo se mea ma faaaogaina i faiga mo nisi atinae.

O le laasaga e sosoo ai na tupu i le senituri XVI, ina ua aumai metotia indivisible le mathematician Italia Cavalieri, lea e piki i luga Per Ferma. O nei uiga e lua faataatia le faavae mo le calculus taua i ona po nei, lea ua lauiloa i le taimi. Latou nonoa le manatu faavae o le eseesega ma le tuufaatasia, lea na vaaia muamua o le tagata lava ia-o loo i ai iunite. E toatele lava, le matematika o lena taimi sa sailiiliga fasimea fragmented ai i latou lava, ma faaaogaina faatapulaaina. Auala e tuufaatasia ma maua eleele masani na o le pau moni i le taimi, faafetai atu ia te ia, o le po nei iloiloga faamatematika maua le avanoa e tuputupu ae ai ma atiina ae.

I le gasologa o le taimi e suia ai mea uma ma le faailoga taua foi. E toatele lava, sa tofia saienitisi lea i lona lava ala, mo se faataitaiga, faaaogaina Newton a faailoga faatafafa, lea na tuu se galuega tauave integrable, pe na tuu faatasi. O lenei le eseesega tele o alu ai seia oo i le senituri xvii, pe a mataaga mo le faailoa talitonuga atoa o saienitisi auiliiliga faamatematika Gotfrid Leybnits se uiga masani ia i tatou. Elongated "S" e moni e faavae i le tusi lenei o le alafapeta Roma, talu faaalia ai le aofaiga o primitives. Le igoa o le taua maua le faafetai i Jakob Bernoulli, ina ua mavae le 15 tausaga.

O le faamatalaga aloaia

O le taua e faavavau e faalagolago lea i le faamatalaga o le anamua, ina ia tatou mafaufau i ai i le tulaga muamua.

Antiderivative - o le galuega tauave inverse o le afua mai i isi, i le faiga ua taʻua anamua. Leai: galuega tauave anamua o d - o se galuega tauave D, o le V afua mai i isi v <=> '= v. Search anamua o le fuafua le faavavau taua, ma o le faagasologa lava ua taʻua o tuufaatasia.

faataitaiga:

O le s galuega tauave (y) = y ^3, ma ona S anamua (y) = (y ^4/4).

O le seti o primitives uma o le galuega - o lenei se faavavau taua, denoted ai e faapea: ∫v (x) dx.

E tusa ai o le mea moni e faapea V (x) - ua na o nisi galuega tauave uluai anamua, umia faaupuga: ∫v (x) dx = V (x) + C, lea C - e le aunoa. I lalo o le faifai pea soʻona faia e faatatau i so o se pea, talu mai lona afua mai i isi e o.

meatotino

Le meatotino umia e le faavavau taua, moni e faavae i luga o le faauigaga ma meatotino a pogai.
Mafaufau i le manatu autu:

• taua afua mai i isi o le anamua o anamua lava faaopoopo se C <=> ∫V tumau soʻona faia '(x) dx = V (x) + C;
• afua mai i isi o le taua o se galuega tauave o le galuega tauave uluai <=> (∫v (x) dx) '= v (x);
• ua aveina atu faifaipea mai i lalo o le faailoga taua <=> ∫kv (x) dx = k∫v (x) dx, lea k - o soʻona faia;
• taua, lea ua aveesea mai le aofaiga o le identically e tutusa ma le aofaiga o integrals <=> ∫ (v (y) + w (y)) dy = ∫v (y) dy + ∫w (y) dy.

Le meatotino mulimuli e lua e mafai ona faaiuina e linear le taua faavavau. Ona o lenei, ua tatou maua: ∫ (kv (y) dy + ∫ lw (y)) dy = k∫v (y) dy + l∫w (y) dy.

Ina ia tagai i le faataitaiga o le faaleleia o fofo integrals faavavau.

E tatau ona e maua ai le taua ∫ (3sinx + 4cosx) dx:

• ∫ (3sinx + 4cosx) dx = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx - 3cosx + C.

Mai le faataitaiga e mafai ona tatou faapea atu e te le iloa pe faapefea ona foia integrals faavavau? E maua primitives uma! Ae o le sailiga mo le mataupu faavae na talanoaina i lalo.

Metotia ma Faataitaiga

Ina ia foia ai le taua, e mafai ona Resort i le auala lenei:

• saunia e faaaoga le laulau;
• integrating e vaega;
• tuufaatasia i le suia o ma liuliuina;
• summing aʻe i lalo o le faailoga o le eseesega.

laulau

O le auala sili ona faigofie ma fiafia i ai. I le taimi, e mafai ona mitamita auiliiliga faamatematika laulau fai si tele, lea faamaninoina mai le fua faatatau faavae o integrals faavavau. I se isi faaupuga, o le ai ma faataitaiga maua i luga ia te oe ma e mafai ona na o le faaaogaina o latou. O le lisi o le tulaga laulau autu, lea e mafai ona faaalia e toetoe lava o se faataitaiga uma, ei ai se vaifofo:

• ∫0dy = C, lea C - tumau;
• ∫dy = y + C, lea C - tumau;
• ∫y ⁿ dy = (y ^{n + 1)} / (n + 1) + C, lea C - a tumau, ma n - numera ese mai le lotogatasi;
• ∫ (1 / y) dy = ln | y | + C, lea C - tumau;
• ^{∫e y dy = e y + C} , lea C - tumau;
• ^{∫k y dy = (k y /} ln k) + C, lea C - tumau;
• ∫cosydy = siny + C, lea C - tumau;
• ∫sinydy = -cosy + C, lea C - tumau;
• ∫dy / cos ² y = tgy + C, lea C - tumau;
• ∫dy / agasala ² y = -ctgy + C, lea C - tumau;
• ∫dy / (1 + y ²⁾ = arctgy + C, lea C - tumau;
• ∫chydy = matamuli + C, lea C - tumau;
• ∫shydy = chy + C, lea C - e le aunoa.

Afai e manaomia, ia faia se ulugalii o laasaga taitai integrand i se vaaiga tabular ma fiafia i le manumalo. FAATAITAIGA: ∫cos (5x -2) dx = 1 / 5∫cos (5x - 2) d (5x - 2) = 1/5 x agasala (5x - 2) + C.

E tusa ai ma le faaiuga ua manino ai mo se faataitaiga o se laulau integrand lacks multiplier 5. Tatou te faaopoopo i tutusa ma lenei faateleina e ala i le 1/5 na le suia foi i faaupuga.

Tuufaatasia e le Vaega

Mafaufau galuega tauave e lua - z (y) ma x (y). E tatau ona latou faaauau pea ona differentiable i lona silafia e. I se tasi meatotino eseesega ua tatou maua: d (xz) = xdz + zdx. Integrating itu uma e lua, tatou te maua: ∫d (xz) = ∫ (xdz + zdx) => zx = ∫zdx + ∫xdz.

Toe tusia o le faaupuga e mafua, ona tatou maua le fua faatatau, o loo faamatalaina le auala o le tuufaatasia e ala i vaega: ∫zdx = zx - ∫xdz.

Aisea e tatau ai? O le mea moni o nisi o faataitaiga e mafai ona faafaigofie, ia tuu atu o le fai atu, e faaitiitia ∫zdx ∫xdz, pe afai o le gata e latalata i le pepa faatumu tabular. Foi, e mafai ona faaaogaina ai lenei fua faatatau sili atu nai lo le taimi e tasi, mo le taunuuga e silisili ona lelei.

Le auala e foia integrals faavavau le ala lenei:

• e manaomia e fuafua ∫ (s + 1) e ^2s AF

∫ (x + ^{1) e 2s AF = {z =} s + 1, dz = AF, y = 1 ^{/ 2e 2s, dy = e 2x} AF} = ((s + 1) e ^2s) / 2-1 / 2 ∫e ^2s dx = ((s + 1) e ^2s) / 2-e ^2s / 4 + C;

• e tatau ona fuafua ∫lnsds

∫lnsds = {z = lns, dz = AF / s, y = s, dy = AF} = slns - ∫s x s / AF = slns - ∫ds = slns -s + F s = (lns-1) + C.

Suia le ma liuliuina

O lenei mataupu faavae o le foiaina integrals faavavau e le itiiti ifo i manaoga nai lo le muamua e lua, e ui ina faigata. O le auala e faapea: Ia V (x) - o le taua o nisi v galuega tauave (x). I le tulaga e faapea lava ia e oo mai taua i Faataitaiga slozhnosochinenny, e ono maua le mautonu ma le alu i lalo o le tali sese ala. Ina ia aloese mai lenei faiga suiga mai le ma liuliuina x e z, lea faafaigofie le vaai o le faaupuga lautele ao tumau pea le z faalagolago i x.

I le tulaga faamatematika, o lenei e faapea: ∫v (x) dx = ∫v (y (z)) y '(z) dz = V (z) = V (y -1 (x)), lea x = y ( z) - suia. Ma, ioe, o le z galuega tauave inverse = y ^-1 (x) atoatoa faamatalaina le mafutaga ma le sootaga o fesuiaiga. Taua o le tusi - o le eseesega dx tatau suia i se dz eseesega fou, talu mai le suiga o le ma liuliuina i le taua e faavavau e aofia ai le suia i soo se mea, e le na o le integrand.

faataitaiga:

• e tatau ona maua ∫ (s + 1) / (s ² + 2s - 5) AF

Faaaoga le suia z = (s + 1) / (s ² + 2s-5). Ona dz = 2sds = 2 + 2 (s + 1) AF <=> (s + 1) AF = dz / 2. O se taunuuga, o le faaupuga lenei, lea e faigofie lava ona fuafua:

∫ (s + 1) / (s ² + 2s-5) AF = ∫ (dz / 2) / z = 1 / 2ln | z | + C = 1 / 2ln | s ² + 2s-5 | + C;

• e tatau ona e maua ai le taua ∫2 ^s e ^s dx

Ina ia foia ai le toe tusi i le pepa faatumu nei:

^{e s ∫2 s AF = ∫ (} 2e) s AF.

Tatou faamatala ai e se = 2e (le toe suia o le finauga e le o lenei laasaga, ua s pea), tatou te tuuina atu lo tatou foliga mai e faigata taua i faiga faavae tabular:

^{∫ (2e) s AF = ∫a} s AF = a s / lna + C = (2e) s / ln (2e) + C = 2 ^s e ^s / ln (2 + lne) + C = 2 e ^{s s} / (ln2 + 1) + C.

Summing se faailoga eseesega

E toatele lava, o lenei auala o le integrals faavavau - o le uso masaga o le mataupu faavae o le suiga o le ma liuliuina, ae o loo i ai le eseesega i le faagasologa o le faamauina. Ia tatou mafaufau i auiliili.

Afai ∫v (x) dx = V (x) + C ma y = z (x), lea ∫v (y) dy = V (y) + C.

I le taimi lava e tasi e le tatau ona galo le suiga taua faatauvaa, i totonu o lea:

• dx = d (x + a), ma lea - tumau taitasi;
• dx = (1 / a) d (toʻi + b), pe afai o se - toe faifai pea, ae le o;
• xdx = 1 / 2d (x ² + b);
• sinxdx = -d (cosx);
• cosxdx = d (sinx).

Afai tatou te mafaufau i le tulaga aoao o le o fea tatou te fuafua le faavavau taua, e mafai ona faitaulia faatasi faataitaiga i lalo o le fua faatatau aoao w '(x) dx = dw (x).

faataitaiga:

• e tatau ona maua ∫ (2s + 3) ² AF, AF = 1 / 2d (2s + 3)

∫ (2s + 3) ² AF = 1 / 2∫ (2s + 3) ² d (2s + 3) = (1/2) x ((2s + 3) ²⁾ / 3 + C = (1/6) x (2s + 3) ² + C;

∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (coss) / coss = -ln | coss | + C.

fesoasoani i le initoneti

I nisi tulaga, o le sese o lea e mafai ona avea po o le paie, po o se manaoga faanatinati, e mafai ona e faaaogaina le uunaia luga o le initoneti, po o ae, e faaaoga se mea fuafua integrals faavavau. E ui i le lavelave manino ma le natura feteenai o le integrals, o le faaiuga e noatia i latou algorithm patino, lea e faavae i le mataupu faavae o le "pe afai e te le ... ona ...".

O le mea moni, o se aemaise lavelave faataitaiga o se mea fuafua o le a le atamai, e pei o loo i ai mataupu i lea o se faaiuga ua e maua se artificially "faamalosia" e ala i le faailoa elemene faapitoa i le faagasologa, ona o le taunuuga o auala manino e aapa. E ui lava i le natura feteenai o lenei faamatalaga, e moni, e pei o le matematika, i mataupu faavae, o se saienisi faamatalaga otooto, ma o lona faamoemoega autu e manatu le manaomia e faamamanaina i le tuaoi. O le mea moni, mo se lamolemole taufetuli-i le manatu e faigata tele e agai i luga ma evolve, o lea e le faapea o le faataitaiga o le foiaina integrals faavavau, lea na aumaia i tatou - o le maualuga lenei o avanoa. Ae toe foi atu i le itu tau tomai faapitoa o mea. E le itiiti ifo e siaki le fuafuaga, e mafai ona e faaaogaina le auaunaga i lea na tusia ia i tatou. Afai ei ai se manaomia mo le fuafuaina otometi o faaupuga faigata, ona latou te le Resort i se polokalama matuia sili. E tatau ona gauai atu faapitoa i le siosiomaga MatLab.

talosaga

O le faaiuga o le faavavau integrals i le tepa muamua foliga atoatoa aveese mai le mea moni, aua e faigata ai ona iloa le faaaogaina manino o le vaalele. O le mea moni, tuusao faaaoga i latou i soo se mea e te le mafaia, ae oi latou o se elemene vailauga tatau i le faagasologa o le talaina i tua o fofo faaaogaina i le faiga. O lea, o le tuufaatasia o eseesega i tua, faapea ma le malosi i le auai i le faagasologa o le foiaina o faamatalaga e.
O lea, o nei faamatalaga e maua i ai se aafiaga tuusao i luga o le faaiuga a faafitauli masini, trajectory fuafuaina ma conductivity vevela - i puupuu, o mea uma e aofia i le taimi nei ma le mamanuina o le lumanai. Faavavau taua, o ni faataitaiga o loo tatou manatu i luga, na faatauvaa i le tepa muamua, e avea o se faavae e tauaveina sili atu ma sili atu mea fou.