Algebra Boolean. algebra o mafuaaga. Elemene o mafuaaga faamatematika

I le lalolagi i aso nei o loo tatou faateleina le faaaogaina o se ituaiga o masini ma gadgets. Ma e le gata pe a talafeagai ai e faaaoga moni malosi superhuman: agai i le avega e sii atu i le maualuga, eli utu umi ma le loloto, ma isi taavale i aso nei aoina robots, ua vela Multivarki ma fuafuaga tulagalua numera maua calculators ... Sili atu ma sili atu e masani ona tatou faalogo i le fuaitau "algebra Boolean". Atonu ua oo mai le taimi e malamalama i le matafaioi o tagata soifua i le foafoaina o robots ma masini o le tomai e foia ai e le gata faamatematika, ae faapea foi i faafitauli talafeagai.

losika

I mafuaaga Greek - se faatonuina faiga o manatu lea ua faia ai le sootaga i le va o le tuuina mai tuutuuga ma mafai ai ona e faia inferences faavae i luga o manatunatuga ma tala faatatau o tupe. Le tele o taimi, matou te ole tasi i le isi: "E talafeagai le" O le tali faamautu ai lo tatou manatunatuga po o le faitioina o le nofoaafi o mafaufauga. Peitai, e le taofia le faagasologa ai: faaauau pea ona tatou talanoa.

O nisi taimi o le aofai o tuutuuga (sao) e matua tele, ma le sootaga i le va oi latou e matua le mautonu ma faigata e le mafai e le faiʻai o le tagata ina ia "iʻu" taimi e tasi uma. Atonu e tatau ona sili atu nai lo le masina e tasi (vaiaso, tausaga) mo le malamalama o mea o loo tupu. Ae o aso nei le ola e le tuuina atu i tatou nei vaitaimi taimi e fai ai faaiuga. Ma tatou Resort i le fesoasoani o le komepiuta. Ma o iinei o loo i ai se algebra ma faamasinoga, ma ana tulafono ma meatotino. Ina ua mavae downloading o le faamatalaga uluai uma, tatou te faatagaina le komepiuta e iloa uma sootaga, e aveese ai feteenaiga ma e saili se tali talafeagai lelei.

Matematika ma mafuaaga

Lauiloa Gotfrid Vilgelm tuufaatasia Leybnits le mataupu o le "mafuaaga faamatematika", lea sa faigofie galuega ina ia malamalama ua na o se liʻo laitiiti o tagata atamamai. Aemaise lava o le taitaiga leʻi faia, ma i le ogatotonu o le XIX senituri o mafuaaga faamatematika iloa e nai.

O le fiafia tele ua mafua i totonu o le nuu faasaienisi se feeseeseaiga na folafola mai e le Egelani Dzhordzh Bul lona faamoemoe e faatuina se lala o le matematika, e le oi ai matua leai le faatinoga. A o tatou iloa mai le talafaasolopito, i lenei taimi malosi le atiina ae o le gaosiga o oloa, tatou te atiina ae uma ituaiga o masini ausilali, t. E. suesuega faasaienisi uma ua i ai se aoaoga faamasani talafeagai.

Vaavaai i luma, tatou te faapea a algebra Boolean - sili ona faaaoga i le lalolagi i aso nei o se vaega o le matematika. Ina leiloa lau finauga Buhl.

Dzhordzh Bul

O le uiga o le tusitala e tatau gauai faapitoa. E oo lava i tuuina mai e le mea moni e faapea i le tuputupu ae o tagata ua mavae io tatou luma, pea e tatau ona maitauina i le 16 tausaga o le aoao mai e Ioane. Buhl i le nuu le aoga, ma i le 20 tausaga tatalaina lona lava aoga i Lincoln. tomai atoatoa Mathematician gagana i fafo le lima, ma i lona taimi avanoa, sa le faitauina o le galuega o Newton ma Lagrange. Ma mea uma o lenei - i luga o le atalii o se tagata faigaluega masani!

I le 1839, na auina Buhl lana uluai pepa faasaienisi i le Journal Cambridge faamatematika. liliu saienitisi 24 tausaga. e matua fiafia le galuega a le Boole tagata o le Sosaiete o le Royal, i le 1844 sa ia maua se pine mo lona sao i le atinae o auiliiliga faamatematika. I ni nai pepa lomia faasalalau i lea o le elemene o le mafuaaga faamatematika, matematika faatagaina le talavou e ave le pou o le polofesa i le Kolisi o momono na faamatalaina County. Manatua i le aoaoga lava Boole leai.

manatu

I mataupu faavae, algebra Boolean e matua faigofie. O loo i ai faamatalaga (talafeagai faaupuga) e faapea, mai le vaaiga o le matematika, e faatoa mafai ona faamatalaina i upu e lua: "moni" po o le "sese". Mo se faataitaiga, o laau i tautotogo fugalaau - le upu moni, le kiona i le taumafanafana - o se pepelo. O le matagofie o le matematika e faapea e le o matua talafeagai e faaaoga numera na. Mo le faamasinoga algebra lava fetaui so o se faamatalaga ma uiga tulaga ese.

O lea la, o le algebra o mafuaaga e mafai ona faaaogaina moni lava i soo se mea: i le faatulagaina ma le tusitusi faatonuga, auiliiliga o faamatalaga feteenai e uiga i le mea na tutupu ma le fuafuaina o le faasologa o amioga. O le mea sili ona taua - o le iloaina faapea e le afaina le auala tatou te iloa ai le upumoni po o falsity o faamatalaga. Mai nei "e faapefea" ma le "pe aisea" e tatau ona le amanaiaina. O le mea ua na o se faamatalaga o mea moni: o le upu moni o se pepelo.

O le mea moni, polokalame o galuega tauave e sili ona taua o le algebra o mafuaaga ua tusifaamaumau ma le talafeagai faailoga ma faatusa. Ma aoao i latou - le uiga o le aoaoina o se gagana fou i fafo. le mafai se mea.

mataupu faavae ma faamatalaga

E aunoa ma le alu i totonu o le loloto, tatou taulimaina faaupuga. O lea, algebra Boolean manaomia ai le tuuto:

• faamatalaga;
• gaoioiga talafeagai;
• galuega tauave ma tulafono.

Faamatalaga - so o se faaupuga ioe e mafai ona faauigaina e lua faatauaina. ua tusia i latou o le numera (5> 3) po o le upu masani tuufaatasia (elefane - o le meaola aupito tele). I lenei tulaga, o le fuaitau "e le o le ua a serafa" foi ei ai le aia i ai, e na o algebra Boolean faauigaina ai "o se pepelo."

e tatau ona unambiguous faamatalaga uma, ae e mafai ona latou avea ma faavae po o le lotoa. Talu ai nei faaaogaina faaputuga talafeagai. E. I le lotoa faamasinoga faamatalaga algebra faia e le gata o galuega tulagalua mafuaaga.

gaoioiga algebra Boolean

Ua uma ona tatou manatua o le gaoioiga i le algebra o faamasinoga - talafeagai. E pei lava ona le algebra o numera e faaaoga le gaoioiga numera e faaopoopo, toese, po o faatusatusa fuainumera, elemene mafuaaga faamatematika faatagaina e faia faamatalaga lavelave, e teena po o le fuafua o le taunuuga mulimuli.

gaoioiga mafuaaga mo le formalization ma le faigofie faaalia e le fua, e masani ai ia i tatou i numera. Meatotino o faamatalaga e Boolean algebra e mafai ai ona faamaumau ma fuafua le mailoa. gaoioiga talafeagai e masani lava ona tusia e le laulau o le upu moni. O lona elemene faamatala koluma ma fuafuaina gaoioiga o loo faatinoina ai i latou, ma le laina e faaalia ai le taunuuga o le fuafuaga.

mafuaaga Autu o le gaoioiga

E sili ona taatele i le galuega algebra Boolean e negation (E), ma le talafeagai MA ma PO. O lea e mafai ai e faamatala O lona laasaga uma i faamasinoga algebra. Tatou te suesueina auiliili o gaoioiga taitasi e tolu.

O le negation (e) o lo o faaaogaina i na o le tasi elemene (operand). O le mea lea, ua taʻua o le faagaoioiga a negation unary. E faamaumau ai le mataupu o le "e le A" e faaaoga e pei o faailoga; ¬A, o se po o se !. I tabular pepa e foliga mai e pei o lenei:

O le galuega tauave o le faafitia masani o sea faamatalaga: pe afai A e moni, ona A - e sese. Mo se faataitaiga, taamilomilo i le masina le Lalolagi - le upu moni; taamilomilo faataamilo i le lalolagi le masina - o se pepelo.

fanafanau talafeagai ma faaopoopo

Talafeagai ma le faagaoioiga o taʻua o le faatasi. Le a le uiga? Muamua, e mafai ona faatatau i operands lua, o lona uiga, I - .. faagaoioiga Binary. O lona lua, e le gata i le tulaga o le upu moni uma operands (uma A ma le B) ua moni ma le faaupuga lava ia. O le faataoto, "O le onosai ma se taumafaiga itiiti" lona uiga e mafai ona fesoasoani na mea moni e lua feagai o se tagata ma le faigata.

faatusa o loo faaaogaina mo le pueina: A∧B, A⋅B po o se && B.

Faatasi e tutusa i fanafanau i numera. O nisi taimi ma fai - fanafanau talafeagai. Afai e faateleina le vaega o le laina o le laulau, tatou te maua ai se taunuuga e pei o le mafaufau talafeagai.

Disjunction o le a talafeagai po o le faagaoioiga. E MONI pe moni le itiiti ifo i se tasi o faamatalaga (A po o B). Ua tusia e pei o lenei: A∨B, A + B po o se || B. le upu moni laulau mo nei galuega o le:

Disjunction faaopoopo numera faapena. faagaoioiga faaopoopo talafeagai ua na o le tasi tapulaa: 1 + 1 = 1. Ae tatou te manatua i se faatulagaga faafuainumera ua faatapulaaina i mafuaaga faamatematika 0 ma le 1 (lea 1 - le upu moni, 0 - sese). Mo se faataitaiga, o le faamatalaga "i le falemataaga e mafai ona e vaai i se taulima po o le maua o se kamupani lelei" o lona uiga o le mea e mafai ona e tagai i le galuega o faatufugaga, ma e mafai ai ona feiloai i se tagata ese. I le taimi lava e tasi, e le pule mai le avanoa o le faataunuuina lava lena o faasalaga uma e lua na tutupu.

Galuega tauave ma tulafono

O lea la, ua uma ona tatou iloa le mea o le faagaoioiga talafeagai le faaaogaina o algebra Boolean. Galuega tauave faamatala meatotino uma o le elemene o le mafuaaga faamatematika, ma faatagaina ai i tatou e faafaigofie faamatalaga lotoa lavelave. Sili ona manino ma faigofie foliga teena meatotino a le galuega e pogai. E ua malamalama pogai XOR, taunuuga ma equivalence. A o tatou faitau i le na o le galuega autu, ma e na o le mafaufau foi i le meatotino i latou.

o lona uiga o Associativity i le faamatalaga e pei o "le gata A ma le B, ma lisi faasologa 'B o le operands e le afaina. O le fua faatatau ua tusia e faapea:

(A∧B) ∧V = A∧ (B∧V) = A∧B∧V,

(A∨B) ∨V = A∨ (B∨V) = A∨B∨V.

E pei ona e vaai i ai, e le o tulaga ese lenei e le faatasi ae a disjunction.

finau Commutativity ai o le taunuuga o le faatasi pe disjunction e le faalagolago i luga o sa manatu lea mea i le amataga:

A∧B = B∧A; A∨B = B∨A.

mafai Distributivity faailoa puipui i faaupuga talafeagai lavelave. Tulafono e tutusa i le parenthesis amata i le fanafanau ma faaopoopo i algebra:

A∧ (B∨V) = A∧B∨A∧V; A∨B∧V = (A∨B) ∧ (A∨V).

meatotino iunite ma le valu, lea e mafai ona avea o se tasi o le operands e tutusa foi i le fanafanau algebraic e o po o se tasi, ma le faaopoopo o se iunite:

A∧0 = 0, A∧1 = A; A∨0 = A, A∨1 = 1.

Idempotency taʻu mai afai si lua operands tutusa le taunuuga o le faatinoga o le tasi, e mafai ona e "togi" le operands sili talatala faafaigata. Ma o idempotent le gaoioiga faatasi ma disjunction.

B∧B = B; B∨B = B.

foi e mafai Mauaina tatou e faafaigofie le faamatalaga. Mitiia taua ai e faapea pe a faaaogaina le faaupuga e tasi operand, se isi taotoga ma le elemene e tasi o le operand taunuuga ua popoga taotoga.

A∧B∨B = B; (A∨B) ∧B = B.

faasologa o gaoioiga

O le faasologa o galuega e taua tele. O le mea moni, e pei mo algebra, ei ai se galuega tauave faamuamua e faaaoga a algebra Boolean. mafai ona faafaigofieina o faiga na o noatia i le taua o le galuega. Faasologa o le sili ona taua e itiiti sona taua, tatou te maua ai le faasologa lenei:

1. faafitia.

2. faatasi.

3. O le disjunction, XOR.

4. O le aafiaga, equivalence.

E pei ona e vaai i ai, na o le negation o le faatasi ai ma e le o se faamuamua e ave tutusa. A faamuamua o le disjunction ma XOR e tutusa, e faapea foi le mea e faamuamua o le taunuuga ma equivalence.

Galuega tauave a taunuuga ma equivalence

A o tatou fai atu ai, e faaopoopo atu i gaoioiga talafeagai faavae, mafuaaga faamatematika ma teori o algorithms faaaogaina pogai. O le tele o taimi le taunuuga ma equivalence.

O le aafiaga po o se taunuuga talafeagai - le faamatalaga lenei, lea na ia tasi le faatinoga o se tulaga, ma le isi - o le taunuuga o lona faatinoina. I se isi faaupuga, o lenei talosaga i le pretext o le "afai ... ona". "Ina ua uma taumafataga o le afiafi e oo mai le faamasinoga." E. Mo taavale e uu i luga o le mauga taavale faasee. Afai e leai se manao e agai i lalo mai le mauga, ma ua lē tatau ai toso lea o le taavale faasee. Ua tusia ai faapea: A → B po o A⇒B.

Equivalence faatatau e tupu le aafiaga upega pe afai ua moni uma operands. Mo se faataitaiga, po tuuina auala i le aso lea (ma e na o lea), ina ua oso aʻe le la i le tafailagi. I le gagana o mafuaaga faamatematika o lenei faamatalaga ua tusia pei A≡B, A⇔B, A == B.

Isi tulafono o algebra Boolean

faamasinoga Algebra atiina ae, ma le tele naunau saienitisi e fausia tulafono fou. Ua sili ona lauiloa manatu postulates mathematician Sikotilani O. De Morgan. Sa ia matauina ma tuuina atu se faamatalaga o sea meatotino e pei negation latalata, e faaopoopo ma le lelei lua.

fautuaina faafitia Close ao lei leai se faafitia o le parenthesis: le (A po o le E) = le A po o le B. LĒ

Pe a faafitia le operand, e tusa lava po o lona taua, e uiga i le gata:

B∧¬B = 0; B∨¬B = 1.

Ma le mea mulimuli, o le lua negation lava compensates. Ie luma pe operand negation mou po o tumau pea na o le tasi.

Le auala e foia ai tofotofoga

Mafuaaga faatatau i faamatalaga e le faafaigofieina fuafuaina. E pei lava i le algebra Pepelo, e talafeagai ona maximally faafaigofie tulaga muamua (e aveesea o gaoioiga faigata sao, ma faatasi ma i latou), ona amata ona saili mo se tali e saʻo.

Le mea e fai e faafaigofie? Liliu pogai uma i se taotoga faigofie. Ona faaalia puipui uma (po o le isi foi itu, e faia le puipui e faaitiitia ai lenei elemene). O le isi laasaga e tatau ona e faaaoga meatotino algebra Boolean i faiga (mitiia meatotino o ma le tasi, ma t.).

O le iuga lava, e tatau ona aofia ai le faamatalaga o se numera aupito i maualalo o unknowns, faatasi ai ma gaoioiga faigofie. O le auala aupito faigofie e saili mo se tali, pe afai e te faia ai se aofaiga tele o le lelei vavalalata. Ona oso ae o le tali e pei lava ia.